布爾巴基部分成員 | 布爾巴基
尼古拉·布爾巴基是20世紀最神秘的「數學家」，「他」師從龐加萊和希爾伯特，一己之力編撰數十卷《數學原本》，卻從未拋頭露面，任憑江湖中飄蕩的流言蜚語。
不以真面目示人的背後，是一眾天才為了挽救衰敗的法國數學界，沉心編撰浩瀚的文書，以記錄當代的知識。聽起來像是阿西莫夫筆下的《基地》，卻是上世紀30年代開始的一段活着的歷史。作為世界上最為知名的馬甲之一，「布爾巴基」時至今日依然散發着神秘色彩。
於衰落中誕生
「布爾巴基教授」的背後，是1935年於巴黎成立的布爾巴基學派。數百年來，法國一直是數學家的搖籃。費馬、笛卡爾、帕斯卡、拉普拉斯、伽羅瓦、泊松、傅里葉……17世紀以來，巴黎皇家科學院逐漸匯聚大量頂級學者。法蘭西數學大放異彩，法國也成為了歐洲的學術中心。
可光輝最終也要走向暗淡。法國最後一名全能數學家，龐加萊，於1912年因病去世。在那之後，法國人所從事的研究方向越來越狹窄，主要集中於單複變函數。此時處於數學前沿的代數數論、李群李代數、微分幾何、泛函分析等分支中，幾乎看不到法國人的身影，法國的年輕一代更是難以接觸到世界數學的前沿。相反他們的鄰居德國人，當時儼然已經成為世界的數學中心。龐加萊之後，只有德國的戴維·希爾伯特一人能挑起數學家領袖的大梁。而第一次世界大戰，讓法國數學又雪上加霜。
20世紀初，國際形勢風雲變幻。在第一次世界大戰中，學生們份份奔向戰場，昔日的頂級學府巴黎高師門可羅雀。到1918年戰爭結束時，已有半數學生永遠無法歸來。這些本可以成為新一代數學家的年輕人，永遠地消散在了歷史的角落。布爾巴基學派的五名創始人，讓·德爾薩特、安德烈·韋伊、亨利·嘉當（注意跟他爹埃利·嘉當區分）、讓·迪厄多內（被稱為布爾巴基的發言人，大多數對外發佈都是他做的）、克勞德·謝瓦萊都是上世紀20年代入學巴黎高師的學生。而戰爭中失去的一代人，割裂了那個時代。年輕的法國數學人處在一個前不着村，後不着店的位置。
戴維·希爾伯特 | 維基百科
20世紀初，代數學的興起帶來了一股潮流，由埃米·諾特，阿廷等德國數學家發展起來的理論不斷為其注入新的血液。1930年，范·德·瓦爾登發表了著名的《代數學》，當時布爾巴基創始人之一的迪厄多內正在寫博士論文，後來他在《布爾巴基的事業》一文中談道：
「我還記得范·德·瓦爾登這本書剛出版發賣的那天。那時我對代數無知到那種程度，以至於要是現在我就進不了大學。我急忙跑向這些書，看到這個在我面前打開的新世界我簡直驚呆了。當時我那時已經從高等師範學校畢業，卻不知道什麼是理想（ideal，抽象代數中一種特殊的子環），而且才剛剛知道什麼是群！這就會使你對一個年輕的法國數學家在1930 年知道些什麼有一點概念。」
後來布爾巴基的成員們一致同意模仿范·德·瓦爾登的風格寫書，主要也是受此影響。不過這是後話了。真正促使這幾位當時的無名小輩開始他們永垂青史的工作的，其實是當時陳舊的教材。初出茅廬的他們都在法國各大高校擔任教職，他們講授分析學（微積分，級數等內容）時使用的是30多年前出版的一本書，叫做《分析原理》。這本書包含諸多應用，在教授抽象理論知識的同時，也與科學和工程學緊密聯繫，得到了廣泛好評。但這本教材也存在諸多問題——它的觀點非常陳舊，沒有跟上數學的發展；一些內容的講法也不盡如人意，不滿的老師們往往需要為此重新擬寫講義。韋依和他的老同學們時常聚在一起商量，他們想出一個好主意：由他們幾個人共同撰寫一部分析學教材，並用於他們各自的授課。
布爾巴基將軍 | 維基百科
布爾巴基這個姓，來源於普法戰爭時期法國將領。巴黎高師時期，曾有一名同學以此名號搞惡作劇，稱某教授要來做講座，要求新生必須參加，韋依自傳中寫道：
「戴着假鬍子，發着怪音，他向學生們介紹自己後開始講經典函數論，然後小小地上升到一個故弄玄虛的高度，最後以『布爾巴基定理』結束。這個故事成了傳奇，但更傳奇的是一個學生聲稱他聽懂了整個講座。」
布爾巴基學派就是建立在這樣的惡搞風格之下。除了姓，還需要一個名。一名成員波賽兒的老婆，伊芙蘭（後來成為了韋依的老婆）起了「尼古拉」這個沙皇一般的名字。小團體的形象就這麼定下來了。韋依煞有介事地為其撰寫了一篇簡歷：
「尼古拉·布爾巴基，法國數學家，生於1886年，大學畢業後獲得獎學金，先是去了巴黎，然後到了格丁根大學，分別師從龐加萊和希爾伯特，1910年完成學位論文答辯。他的學術生涯豐富多彩，合作者無數，名譽扶搖直上。」
引領數學變革
以布爾巴基作為筆名，幾位高師老同學的寫作開始了。1934年，他們組織了第一次非正式會議；1935年則是第一次正式會議。那之後，布爾巴基學派就正式誕生了。他們聚在一起討論，將寫作任務分配下去，一段時間後又回來坐在一起逐句朗讀，一直到每個人都滿意為止，沒有通過的稿子絕不會發表。這是一個極其漫長的過程，充斥着激烈的爭論。比方說迪厄多內堅決要求將拓撲向量空間這一內容放在積分學之前，要是有人反對他就會冒火，以退出相要挾。古德曼的妻子聽說了這件事，表示不相信，布爾巴基成員們便邀請她參加了一次會議。在會中，一名成員故意挑起這個問題，迪厄多內果然暴跳如雷。不過他們的爭論總是會回歸和平，想像這樣奇特的景象：一屋子人爭吵着都要動手了，過了一會又開始和和氣氣地喝茶。君子確實和而不同。
布爾巴基成員們在討論 | 布爾巴基
為了寫出精確且完整的教材，他們在寫作過程中不會跳過任何步驟，也不會引用任何語焉不詳的術語。1939年，布爾巴基的第一本書《集合論》（部分章節）出版了。他們把這個系列叫做《數學原本》，以致敬歐幾里得的傳世之作。
不過當時正值二戰，民生凋敝，自然沒有引發多少反響。隨後，德國入侵法國，數學家們紛紛避難，學術活動也大多擱置下來。幸運的是，等到戰爭結束，布爾巴基們又安然無恙地聚集起來。50和60年代，他們陸續不斷地寫作新書。你熟悉的很多數學符號和術語，比如空集符號，單射滿射和雙射等，都是他們在寫作中首次使用的。
布爾巴基的作品站在極為抽象的高度，在泛函分析，交換代數，微分幾何這些前沿學科之間建立起聯繫。這種思想在哲學上稱為結構主義。他們力圖找到數學對象背後最為深刻的關係，並將其表現在作品中——他們也獲得了極大的成功。
特別是他們撰寫的關於李群李代數的著作，其結構之精巧，思想之深邃，簡直可以稱之完美。這部60年代開始陸續發表的巨著象徵了布爾巴基影響力的頂點——韋依，嘉當等人尚未退休，此時又有格羅騰迪克，塞爾等人加入，布爾巴基儼然成為了數學的風向標，而巴黎又回歸了世界的數學中心。迪厄多內就曾表示：「毫不誇張地說，布爾巴基拯救了行將就木的法國數學。」
布爾巴基們還不忘為「布爾巴基教授」補充設定。比如說嘉當寫道：「據傳說，17 世紀克里特島的愛國者在兩兄弟的領導下，與土耳其的侵略者作戰。這兩兄弟是埃曼紐爾及尼古拉·斯考迪里斯，他們的英勇氣概使土耳其人印象深刻，以致土耳其人後來把他們稱為『沃爾巴基』，即 『軍事首領』。尼古拉和埃曼紐爾十分自豪地取了這個榮耀的姓，於是用這個姓傳給子孫後代……從布爾巴基家族的兩個分支的結合誕生出數學家尼古拉·布爾巴基，於是故事在繼續。尼古拉·布爾巴基現在是玻爾塔瓦皇家學院的院士。」
走向衰落
越傳越玄的故事自然受到了質疑，以致於《數學評論》的編輯波阿斯把這一質疑發表在《大英百科全書》上。不過，隨後他們就收到一封來自尼古拉·布爾巴基簽名的措辭尖銳的信，其中義正言辭地表示他「無意允許任何人對他的存在的權利提出質疑」，隨後「尼古拉」開始散佈流言，稱數學家波阿斯其實並不存在，而只是《數學評論》的編輯的集體筆名。
不過幽默的風格並不影響治學的嚴謹。說到布爾巴基，自然要談到他們倡導的公理方法。簡單來說，公理方法就是一種抽象——把一個蘋果加一個蘋果等於兩個蘋果，抽象為1+1=2，這樣如果再遇到一個梨加一個梨的問題，就不用再算了。數學中有很多類似的結構，即使直觀看起來大相逕庭的兩樣東西，其背後都可能藏着聯繫。只需要將其背後更加抽象的規律找出來，就能一次性解決很多問題。
但這並不適合所有水平的人：人對於數學的認識，從來都是從具體的例子到抽象的概念。布爾巴基對於他們的作品的定位，只限於一定水平的研究生和數學研究人員。在這些作品中，你找不到來龍去脈，只有從頭到尾的論證。初學者就算能看懂每一步，也會搞不清楚為什麼會這樣定義，也會想不通為什麼要研究這樣的問題。而經驗豐富的數學研究者卻能在其中找到美妙的框架結構，體會到其中的思想。
可是很多人並不能抓住布爾巴基思想的精髓，卻想在別處實踐布爾巴基的「精神」。法國在70年代展開的「新數學」運動，就是這種「嫁接」的後果。一時間，中小學份份開始學習集合論，號稱要將歐幾里得趕出教師。老師和學生苦不堪言。整整一代人受到了這樣揠苗助長的摧殘。
自然，矛盾的焦點指向了布爾巴基學派。社會各界充斥着對公理思想的謾罵，批評他們「為了推廣而推廣」。迪厄多內此時只能無力地發表了《布爾巴基的數學哲學》，為公理的形式主義正名，同時大加批判了數學上的「極左」（邏輯主義）和「極右」（直覺主義）。
可惜的是，這些辯駁早已無法改變布爾巴基逐漸衰落的事實。他們起初為了讓學派保持活力，規定成員到50歲必須退休。而等到新鮮的血液充滿了整個小團體，布爾巴基也如同特修斯之船一樣不復從前。一個數學學派最重要的是思想，但發表的僅僅是一板一眼的文字。這很容易讓外界誤以為布爾巴集的抽象是毫無意義的。自70年代以後，著作發行越來越少，出版社也幾經更替。
可以說，布爾巴基的全盛期，是數學的「大一統」時代。抽象觀念逐漸將分支統一起來，各學科的交流達到了前所未有的高度。但到了20世紀的尾聲，數學已不再是統一思維的天下了。隨着代數曲線、偏微分方程、數學物理、低維拓撲等學科的發展，數學家們的興趣轉向了一個個具體的問題。像偏微分方程，雖然背後是高度抽象的泛函分析，但具體到每一個方程，研究的方法也大相逕庭。布爾巴基的方法到這裏已經行不通了。在布爾巴基日漸老去的身影之上，新一代的數學家解決了莫德爾猜想、費馬大定理、龐加萊猜想等難題，繼續使用代數，拓撲，分析的現代方法，將前沿拓展出去。以範疇論為核心的公理思想為數學家的思維帶來了一次飛躍，而布爾巴基學派正好錯過了這一革命性的思想。
布爾巴基完成了大一統時代交給它的任務，如今各個分支雖說仍暗含關聯，不同方向的數學家卻早已形同陌路。那麼我們肯定要問，對於今天的我們，布爾巴基還存在什麼意義呢？
答案是布爾巴基研討班。研討班這種源於德國的學術會議最終在法國發揚光大，自然是布爾巴基的功勞。自1948年起，每年都會邀請或由內部人員作報告，主題是當年數學的前沿。短短數年，就成為了世界上最舉足輕重的研討班。時至今日，或許巴黎早已不是數學的麥加，布爾巴基的秘密性也不再是數學界關注的焦點，但研討班仍散發着無窮的活力。在視頻網站上，你還能找到他們講演的實錄。每年都有無數數學家受到研討班的啟發，開始一項又一項新的開拓。
去年，布爾巴基發表了他們最新版本的《譜理論》。再往前，是2016年出版了新作《代數拓撲》。風格一脈相承，卻早已沒有昔日風采。距離《數學原本》這一宏偉計劃已經過了大半個世紀，寫作卻看不到盡頭。他們還在一輩接一輩，書寫最為純粹的數學。或許是在等待新的時代，新的統一。
參考材料：
[1]https://www.quantamagazine.org/inside-the-secret-math-society-known-as-nicolas-bourbaki-20201109/
[2]《數學的建築》，布爾巴基等著，胡作玄等譯
