從王子打賭到現代算法，數學家終於發現一種特殊多面體——Noperthedron，它無法通過任何方式讓自身穿過自身，打破了幾何學中延續三百年的猜想。
想像你手中有兩顆大小相同的骰子。如果在其中一顆上鑽一條直通的隧道，另一顆能順利穿過嗎？
「當然不可能吧？」大多數人都會這樣想。十七世紀末，一位身份不明的人和萊茵的Nopert王子打了這樣一個賭。Nopert是英王查理一世的侄子，曾指揮保皇黨軍隊，晚年在溫莎城堡里研究金屬和玻璃。
他贏了賭局。數學家John Wallis在1693年記載了這件事——沒人知道Nopert是寫了證明，還是真的在方塊上鑽了洞。但Wallis自己證明了：如果沿立方體內部的一條對角線方向鑽洞，孔徑確實可以讓另一顆相同的立方體穿過。只要第二顆方塊大4%，就再也過不去了。
自那以後，人們開始好奇，還有哪些形狀也能「穿過自己」。Google工程師Tom Murphy說，這個問題「太經典了，連外星人都會重新發現它。」
數學家通常研究的是凸多面體——像立方體那樣表面平整、沒有凹陷的幾何體。如果某個形狀在某些方向上更寬，就容易找到一條直線通道，讓另一個相同的形狀穿過。但許多著名的多面體，如十二面體或截角二十面體(足球的形狀)，對稱性太高，難以分析。
「幾百年來，我們只知道立方體具備這種特性，」奧地利統計局的數學家Jakob Steininger說。
直到1968年，數學家Christoph Scriba證明了四面體和八面體也擁有這種「Nopert性質」。此後十年，數學家和幾何愛好者不斷發現更多例子，包括十二面體、二十面體和足球體。Nopert性質似乎無處不在，甚至有人大膽猜測：所有凸多面體都能穿過自身。
沒人能反駁——直到今年。
把一個立方體的角倒過來，另一個立方體就可以通過。
2025年8月，Steininger與奧地利研究員Sergey Yurkevich發表論文，描述了一種擁有90個頂點、152個面的新形狀——他們命名為「Noperthedron」，名字由Murphy創造，意為「Nopert(Rupert)」的反面——「不行(nope)」。他們證明，無論怎樣鑽直線隧道，第二個Noperthedron都無法通過。
證明過程既依賴理論突破，也依靠龐大的計算。這個形狀的頂點分佈極其微妙，Steininger感嘆：「能成功簡直是奇蹟。」
要理解立方體如何穿過自己，可以想像一隻立方體的「影子」。如果立方體放平，影子是正方形；若將一個角朝上，影子則變成正六邊形。Wallis發現，正方形影子剛好能嵌入六邊形中，於是沿垂直方向鑽洞，另一顆立方體就能穿過。一個世紀後，Pieter Nieuwland找到更好的角度，使通道能容納比原立方體大6%的方塊。
此後所有研究都依賴這個思路：改變形狀方向，尋找能讓「影子」嵌入另一影子的角度。藉助計算機，數學家們陸續在複雜多面體中找到了各種穿越路徑。某些幾乎緊到極限，比如「增三四面體」的通道僅比半徑大0.000002倍。
但計算也暴露了奇特的規律——對某個形狀，算法要麼很快找到通道，要麼永遠找不到。約翰斯·霍普金斯大學的Benjamin Grimmer說，他讓電腦連續運行兩周，嘗試讓一種由62個正多邊形組成的「菱方截二十面體」通過自身，結果毫無進展。
不過，找不到通道並不意味着它真的不行。畢竟方向無限多，電腦只能檢查有限數量。也許通道只是藏得更深。
Murphy開始生成上億種形狀：隨機的、多對稱的、頂點在球面上的，甚至刻意破壞已有通道的形狀。幾乎所有都能找到穿越路徑。這讓人們更確信，真正的「不行」形狀一定非常罕見。
Steininger和Yurkevich早在少年時期就是數學奧賽搭檔。雖然一個拿了碩士、一個拿了博士後都離開學術界，他們仍常聚在一起解謎。
「我們幾個小時前還在吃披薩，全程都在聊數學。」Steininger笑着說。
五年前，他們看到一個立方體穿過另一個的視頻，被深深吸引。他們寫了算法尋找穿越通道，逐漸確信某些形狀根本不具備Nopert性質。2021年，他們首次提出「菱方截二十面體」可能是反例。
要證明某形狀是Nopert，就必須排除所有可能的方向。數學上，每種方向都可轉化為一個「參數空間」中的點。若在某方向上影子超出邊界，就能排除那一點。有時偏差很大，就能排除一整片區域。Steininger和Yurkevich提出了「全局定理」，用來計算能排除的區域大小。
如果這些區域最終覆蓋整個空間，就能證明形狀確實無法穿過自身。但有時偏差太小，只能排除微小的片段。於是，他們又提出「局部定理」：若影子的三個頂點形成的三角形正好包住中心點，那麼任何輕微旋轉都會讓影子向外膨出，從而無法嵌入原影子。這意味着，在這種情況下，也不存在通道。
他們檢查了幾百種對稱的多面體，結果全都失敗——沒有哪種形狀的所有影子都滿足條件。於是，他們決定「造」一個。
經過不斷疊代，算法生成了Noperthedron：一個由150個三角形和兩個十五邊形組成的幾何體，形似一個胖胖的水晶花瓶，底部和頂部都很寬。有人甚至3D打印出模型當筆筒。
他們將所有可能的方向空間分成1800萬個小格子，對每個格子的中心點進行檢測，沒有一個能產生通道。接着又用局部定理和全局定理驗證每個格子都能被排除。既然整個空間都被覆蓋，證明完成——Noperthedron徹底沒有「穿越自身」的可能。
「長期以來的自然假設被推翻了，」Smith學院的Joseph O』Rourke評價道。
未來，數學家可能用這套方法找到更多「Nopert」形狀，或改進局部定理，驗證那些尚未確定的多面體。但現在，人們至少確定：幾何世界中，確實存在「絕不妥協」的形狀。
Murphy感嘆，他與幾世紀前的Nopert王子似乎有種精神共鳴：「我喜歡他那種退休後還在城堡里研究科學的浪漫。」
而Steininger與Yurkevich依舊沉浸在這種單純的喜悅里。「我們只是喜歡解數學題，」Steininger說，「而且，我們還會一直這樣下去。」
