素數可以說是數論中最基礎，也是最重要的概念，指的是一個大於2的正整數，除了1和它本身之外，不是任何數的倍數。就在去年，華人數學家張益唐在孿生素數研究方面取得了突破性進展，而據新浪科技24日報道，包括加州大學洛杉磯分校的天才華裔數學家陶哲軒在內的研究小組目前正取得素數間隔問題的研究突破，這將最終影響加密算法的研究，對信息安全領域有巨大貢獻。《探索》雜誌曾評選出美國20位40歲以下最聰明的科學家，陶哲軒位居榜首，這位神童在10歲的時候就和素數間隔猜想的提出者保羅·愛多士討論數學，如今，他終於有能力解決愛多士提供獎勵的問題。
2013年5月，新罕布殊爾大學的數學家張益唐發表了一篇關於素數研究的標誌性論文，第一次提出了有無窮對素數，之間存在着一定的間隔。他還證明了這個間隔是在7000萬以內。論文發表之後，短短時間內就有許多數學家掌握了他的新方法，開始嘗試改進這個常數。從7000萬到6000萬，再到4200萬、1300萬、500萬、40萬，到目前為止，這個常數已經降到了246，越來越接近孿生素數猜想的範圍。如果這一常數改進到2，就相當於證明了孿生素數猜想(觀察者網註：孿生素數猜想即希爾伯特第8問題，猜想存在無窮多個素數p，使得p+2是素數)。
到此為止，數學家們在反過來的一個問題——連續素數的間隔可以有多遠?——上已經取得了76年來第一個重要進展。隨着數字增長，相鄰素數之間的平均間隔會趨於無窮，但在任一有限的數字列中，最大的素數間隔可以比平均間隔大很多。沒有人能計算出這些間隔到底有多大。
「這是一個很顯而易見的問題。在談論到素數的時候，這是首先要問的問題之一，」蒙特利爾大學的數論學家安德魯·格蘭維爾(Andrew Granville)說，「但對問題答案的探索停滯了幾乎80年時間。」
2014年8月，兩個數學研究小組發表了文章，論述了如何證明保羅·愛多士關於素數間隔的猜想。兩個團隊已經聯合起來，進一步深化素數間隔問題的研究結果，並預計於12月再發表一篇新的論文。
保羅·愛多士(Paul Erdős)是20世紀成果最為豐碩的數學家之一，終其一生解決了數百個數學問題，並熱衷於為數學問題的解決提供現金獎勵。儘管大部分的獎勵只有25美金，但愛多士「有點兒魯莽地」(他自己後來寫道)提供了一份1萬美金的獎勵，用於解決他提出的素數間隔猜想的證明問題。
愛多士的猜想基於蘇格蘭數學家羅伯特·亞歷山大·蘭金(Robert Alexander Rankin)在1938年提出的一個看似奇怪的邊界。蘭金稱，對於足夠大的數X，小於X的最大素數間隔至少為：
加州大學洛杉磯分校的陶哲軒說，在數論公式中會出現許多的「log」(自然對數的簡寫)。他與伊利諾伊大學香檳分校的凱文·福特(Kevin Ford)、牛津大學的本·格林(Ben Green)以及莫斯科斯捷洛夫數學研究所的謝爾蓋(Sergei Konyagin)合作撰寫了兩篇新論文中的一篇。
不過，蘭金的結果是「一個不可理喻的公式，你永遠不可能自然地展示出來，」陶哲軒說，「所有人都認為這個公式很快就會得到改進，因為它太奇怪了。」然而，在超過七十年的時間裏，依然沒有人能對蘭金的公式進行哪怕最微不足道的改進。
許多數學家認為，最大素數間隔很可能大得多——大於(log X)2的數量級。這一理論是由瑞典數學家哈拉爾德·克拉梅爾(Harald Cramér)在1936年首先提出來的。(log X)2數量級的素數間隔是在素數表現得像隨機數的集合——在很多方面它們看起來的確如此——時會出現的。但是，沒有人能接近證明克拉梅爾的猜想。陶哲軒說：「我們對素數的了解還不是很多。」
愛多士提出了一個更為溫和的猜想：可以隨意用一個大的數字取代蘭金公式中的1/3，只要你在數字列表上取的數字足夠大。這意味着素數間隔可以比蘭金公式所呈現的大很多，但仍小於克拉梅爾的猜想。
新的兩種證明愛多士猜想的方法都基於一個建立大素數間隔的簡單方法。一個大的素數間隔相當於兩個素數之間的一長列非素數(或稱複合數)。這裏介紹一個建立100個複合數列表的簡單方法。先從數字2,3,4，…，101，開始，然後每個數加上101的階乘(101!)。這列數字就變成101!+2,101!+3,101!+4,…,101!+101。因為101!可以被從2到101的數字整除，因此這列數字的每個數都是複合數，即101!+2可以被2整除，101!+3可以被3整除，以此類推。「所有關於大的素數間隔的證明採用的方法，都只是這一高中代數方法的細微變形。」牛津大學的詹姆斯·梅納德(James Maynard)說道。他撰寫了兩篇新論文中的第二篇。
上面所列的複合數是非常大的，因為101!具有160位。為了改進蘭金的公式，數學家們需要建立更小一點的複合數列表——在類似2,3,4，…，101這樣的列表上加上一個更小的數字，獲得複合數列表是可能的。兩個團隊對有關素數間隔的最新研究結果(各自不同)進行了分析。梅納德的論文採用了他自己去年開發的工具，研究了素數之間的較小間隔。
現在，上述的五位研究者已經聯合起來，重新設定新的邊界，並計劃在一周或兩周內發佈一篇預印稿。陶哲軒認為，這篇論文利用現有的方法，將蘭金的基礎方法儘可能地進行了延伸。
這項新工作並不能立即投入應用，但了解大的素數間隔將最終影響加密算法的研究。梅納德稱，如果存在比克拉梅爾猜想所預測的更長的複合數列表，那將會給依賴於尋找大素數的加密算法帶來麻煩。「如果他們很不走運，在一個巨大間隔的開端開始尋找，那這個算法就會耗費很長的運行時間。」
對於素數間隔，陶哲軒有着更加個人化的研究動機。「一段時間之後，你會感到這些東西在嘲笑你，」他說，「你被認為是研究素數的專家，但你回答不了這些基礎的問題，即使人們已經對此思考了好幾個世紀。」
保羅·愛多士於1996年逝世，但另一位與他廣泛合作的數學家，來自加州大學聖地亞哥分校的羅納德·格雷厄姆(Ronald Graham)決定好好處理這1萬美金的獎項。
1985年，10歲的神童陶哲軒在一次數學活動中遇到了愛多士。「他平等地對待我，」這位2006年贏得數學界最高榮譽菲爾茲獎的數學家回憶道，「和我談論了非常嚴肅的數學問題。」現在，陶哲軒已經第一次有能力解決愛多士提供獎勵的問題。「所以這其實挺酷的，」他說道。
格蘭維爾說，近期有關素數間隔的研究進展已經催生出新一代的數論學家，他們認為一切都是可能的。「在我學習數學的成長時期，我們以為這些問題將是永恆的，不會看到有人能夠回答，直到另一個時代的到來，」他說，「但我覺得，過去一兩年中，人們的態度已經改變。有許多年輕人比過去的人更有野心，因為他們已經看到了實現重大突破的可能。」
