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中國在沒有引入阿拉伯數字前,古人怎麼書寫算式解答數學問題?

漢字裏表示數字的常用字有:〇、一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、萬、億、兆。

對應的大寫分別是:零、壹、貳、叄、肆、伍、陸、柒、捌、玖、拾、佰、仟、萬、億、兆。

比兆更大的數字單位有京、垓、秭、穰、溝、澗、正、載、極,不過,它們並不常用。

當然,漢字裏還有一些特殊的數字符號,如,廿(讀niàn,代表20)、卅(讀sà,代表30)、卌(讀xì,代表40)、圩(讀xū,代表50)、圓(讀yuán,代表60)、進(讀jìn,代表70)、枯(讀kū,代表80)、枠(讀huà,代表90)、皕(讀bì,代表200)。

中華先民發明的這些漢字,足夠表示天地間的任何一個數字,至今仍在使用。

比起漢字計數,用阿拉伯數字來計數就簡單得多。阿拉伯數字採用「十進制」運算方式,書寫起來很方便,從2300多年前被發明出來後,很快流行於全世界。

阿拉伯數字又叫「印度數字」,是由古印度人在3世紀發明,後來由阿拉伯人傳入歐洲,歐洲人便給其取名「阿拉伯數字」。阿拉伯數字由0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共計十個符號組成,世界上任何數字都能用它們表示出來。

唐朝中期,阿拉伯數字跟隨佛教傳入了中國。不過,當時的中國有自己完善的計數系統和數學算式,並沒有接受阿拉伯數字。直到清末民初,在新文化的洗禮下,阿拉伯數字才被國人熟知和接受。

那麼,在數千年時間裏,在沒有阿拉伯數字時,中國人又是如何書寫複雜的數學算式,以及解答數學問題的呢?

不論是原始社會的「結繩記事」還是「書契記數」,在歷史上的應用時間都很短,對一些複雜的數學問題都顯得鞭長莫及。

中國古代的計算工具和計算方法,應用最廣,流傳時間最長的無疑是籌算和珠算。

「籌算」是古代中國人的一項偉大發明,具體發明於何時,目前還沒有具體的說法。

老子在《道德經》二十七章里說到:善行無轍跡,善言無瑕謫,善數不用籌策,善閉無關楗而不可開,善結無繩約而不可解。

第三句里的「籌策」指的就是「籌算」,說明中國人在春秋戰國時期就善於用籌算來解決算術問題。

籌算有專門的計算工具,稱作「算籌」,用竹棍或者小木棒製作。

《漢書·律曆志》裏關於算籌的形狀與大小的記載這樣寫道:其算法用竹,徑一分,長六寸,二百七十一枚而成六觚,為一握。

意思是說,西漢算籌用竹棍做成,直徑大約是0.23厘米,長約13.86厘米,通常把二百七十一枚算籌捆成六角形的捆,構成一組。

用籌算計算時,通過擺放和變換竹棍的位置,就能計數和計算,使用起來很方便。

70後肯定有這樣的印象,上學前班時,老師會讓每個孩子準備10根一拃長的小木棍或竹棍,用皮筋扎住。進行簡單的加減乘除時,拿出棍子擺放和移動位置,就可以得出結果。這實際上是現代人對古代籌算在現代的傳承。

籌算的具體計算方法,在我國南北朝時期的數學著作《孫子算經》裏寫得很清楚:凡算之法,先識其位,一縱十橫,百立千僵,千十相望,萬百相當。

意思是說:用籌算計算時要先辨識擺放竹棍的位置,擺放個位數時要豎着放,十位數要橫着放,百位數豎着放,千位數橫着放,萬位數豎着放,這樣交替着擺放就能表示出不同的數字,並演算出加減乘除的結果。

如果遇到零,則以空位來表示。

可以看出,古人用算籌表示數目,有豎列式和橫列式兩種方式。算籌不僅能表示正負整數和分數的四則運算與開方,還能表示各種特定籌式的演算。

利用算籌擺放的不同的「位置」來表示不同的「數值」,這是籌算的基本作用。同時,算籌還具有「十進位值制記數法」的功能,利用算籌擺放的不同的位置關係,排列成特定的籌式(數學模式),表示特定的數量關係,對人們在生活中的幫助很大。

《孫子算經》裏下卷第31題是一道著名的數學題,寫道:今有雉兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足,問雉兔各幾何?答曰:雉二十三,兔一十二。

這道題也就是現代數學題「雞兔同籠」的雛形。

題的解法這樣寫道:上置三十五頭,下置九十四足。半其足,得四十七,以少減多,再命之,上三除下三,上五除下五,下有一除上一,下有二除上二,即得。

又術曰:上置頭,下置足,半其足,以頭除足,以足除頭,即得。

文中所謂的「上置」和「下置」,指的是將數字按照上下兩行擺放在籌算盤上。

解法翻譯為:在算籌盤第一行放好頭的數目(35),第二行放好腳的數目(94)。將腳數除以二,此時,第一行是三十五,第二行是四十七。用較小的頭數減去較多的半腳數,四十減去三十(上三除下四),七減去五(上五除下七)。此時下行是十二,三十五減十二(下一除上三,下二除上五)得二十三。此時第一行剩下的算籌就是雞的數目,第二行的算籌就是兔的數目。

另一種算法為:第一行放頭的數目,第二行放腳的數目,將腳的數目除以二,從腳的數目的一半減去頭的數目,再從頭的數目減去剛才所獲得的結果,即得雞的數目。

這類經典數學題在《孫子算經》裏很多,代表了古代中國人在數學領域的智慧和成就。

「珠算」顧名思義就是用算盤來解答各種數學問題,操作很方便,只要熟記珠算口訣,擁有一個算盤,就能進行加減乘除和開方等數學運算。「三下五除二」是最基本的加法口訣之一。

算盤是中國古代偉大的發明之一,其計算方法稱作珠算,由籌算演變而來,最早出現於東漢,在阿拉伯數字出現之前,被看作是全世界最重要的計算方式。因為它操作靈活,攜帶方便,自出現後,在古代中國人的計算工具里扮演了重要角色,到明朝時,已經完全替代了籌算,獨佔古代計算方式的鰲頭。

算盤之所以採用「上檔二珠下檔五珠」的設計方式,一是因為古代中國計算重量通常採用「16兩制」,1斤等於16兩。算盤的上二珠下五珠,每一檔可計算到「15」(上檔一個珠代表5,下檔一個珠代表1),這樣「滿16」時就向前一檔進一。

二是我國古代乘法通常採用「留頭乘」,將乘數首位留至最後再與被乘數相乘而得名。比如,235×586,計算順序:5×80,5×6,5×500;30×80,30×6,30×500;200×80,200×6,200×500。在珠算里,如果上一珠不夠用,就必須啟用二珠。

阿拉伯數字早在唐朝中期就傳入中國,中國人沒有接受它,有三個不得不說的原因。

其一,在數學應用領域,中國自古就有成熟的工具和方式,不需要阿拉伯數字來湊熱鬧。

中國在周朝發明了籌算,在東漢又發明了珠算,這兩種計算方式足夠應付日常生活,沒有必要用不熟悉的阿拉伯數字來演算數學。

其二,阿拉伯數字不夠嚴謹,寫出來容易被篡改。

阿拉伯數字寫出來後,很容易篡改原來的數字。比如,0容易被改成10,1容易被改成7,3容易被改成8。如果改變小數點的位置,數字將會發生巨大變化。

而漢字數字相對阿拉伯數字筆畫複雜得多,並且有對應的大寫,想塗改沒有可能,也就不可能出現做假賬的可能。

其三,阿拉伯數字跟古人的書寫習慣相悖。

漢字因為是方塊文字,不管用哪種方式書寫,看起來都很美觀。古人寫字時,往往自上而下,從右到左來寫。阿拉伯數字的特點是瘦長挺拔,從誕生之日起,寫法一直是從左到右橫寫,如果用寫漢字的方式來寫阿拉伯數字,顯然會影響整體的美觀性,在辨識度上也很困難。

責任編輯: 宋雲  來源:鴻鵠迎罡 轉載請註明作者、出處並保持完整。

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